LaTeX

LaTeX是一种基于ΤΕΧ的排版系统，由美国计算机学家莱斯利·兰伯特（Leslie Lamport）在20世纪80年代初期开发。利用这种格式可以生成复杂表格和数学公式，这个笔记的重点就是教你如何利用LaTeX排版数学公式

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& f(x)=\{\begin{array}{ll}\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x}{b+c},& x<3\\ \pi ,& x=3\\ {\int }_a^{3b}{x}_{ij}+e^2\mathrm{d}x,& x>3\end{array}\end{array}$$

你也想写出这样的公式？是的，你没有看错。上面这些公式并不是图片，而是用一种更为优雅的方式产生——LaTeX

你可以通过LaTeX代码优雅的写出这些高印刷质量的公式，就像这样

f(x) = \begin{cases}
\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x}{b+c}, & x<3 \\
\pi, & x=3 \\
\int_a^{3b}x_{ij}+e^2 \mathrm{d}x,& x>3 \\
\end{cases}

不要害怕，这其实很简单，只需要花费一点时间看完这篇笔记，你也可以优雅的写出这些数学公式

首先推荐一个网站 在线LaTeX公式编辑器 (opens new window) 你可以一边学习，一边在这里测试你学到的东西，这样可以帮助你更快，更轻松的理解LaTeX

那我们开始吧！

一些简单的公式

输入 f(x) = a+b

显示：

$$f(x)=a+b$$

像这样简单的公式只需要像平时一样用键盘输入即可

运算符号与字母

你的键盘并不能打出乘号，除号，点乘 等符号你可以使用LaTeX代码打出这些符号

$$x-2÷3\times 4=y+x\cdot y$$

LaTeX代码如下,除号用\div表示，乘号用\times表示，点乘用\codt表示，而加号，减号，等于号可以用键盘打出，那么就不需要用LaTeX来表示了

x-2\div 3\times 4=y + x\cdot y

除了基本运算符号，还有更多符号在最后的参考里，具体按照自己需求查看

• 常用数学符号

  Property	LaTeX	符号	LaTeX	符号	LaTeX
  +	+	≈	\approx	⇀(向量)	\vec{}
  -	-	Δ	\Delta	∑	\sum
  ×	\times	∞	\infty	∫	\int
  ÷	\div	α	\alpha	∮	\oint
  ±	\pm	β	\beta	∬	\iint
  ⋃	\cup	γ	\gamma	∭	\iiint
  ⋂	\cap	τ	\tau	∯	\oiint
  ∁	\complement	φ	\varphi	∰	\oiiint
  <	<	λ	\lambda	lim	\lim
  >	>	ρ	\rho	⋁	\bigvee
  =	=	π	\pi	⋀	\bigwedge
  ≤	\le	ξ	\xi	⋃	\bigcup
  ≥	\ge	ν	\nu	⋂	\bigcap
  ⊆	\subseteq	μ	\mu	∏	\prod
  ∈	\in	η	\eta	∐	\coprod
  ∅	\emptyset	ψ	\Psi	∂	\partial
  ∵	\because	Ω	\Omega	∅	\phi
  ∴	\therefore	·（点乘）	\cdot	ε	\varepsilon
  ∀	\forall	ℏ	\hbar	σ	\sigma
  ∃	\exists	δ	\delta	Φ	\Phi
  		ω	\omega	∇	\nabla

上下标

$$a_{ij}^2+b_2^3=x^t+y^{\prime }+x_{12}^{″}$$

_{}表示下标，{}括号里写下标内容、^{}表示上标，{}括号里写上标内容，但上下标内容只有一个字符时，可以不用大括号括起来；单引号’表示求导。

a_{ij}^{2} + b^3_{2}=x^{t} + y' + x''_{12}

如果想在$x$前面显示上下标，如下，可以把$x$放在_{}和^{}后面

$${}_a^{b}x$$

_{a}^{b}x

如何把上下标放在正上下方呢? 可以用\limits_{}^{},前一个括号里是下标，后一个括号里是上标，\limits这个符号是用来表示数学里的范围，不是所有的符号在运算中需要范围，所以这种方式只对一些有可能需要定义范围的特定的符号有效(例如，\int，\prod，\bigcap，\bigcup，\sum，\oint，\lim，\coprod)

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}$$

\int\limits_{a}^{b}

还有一种其方法适用于所有符号,但这种方式并不兼容所有可以使用LaTeX的软件

\sideset{1}{1}X_a^b

矢量物理中有一个很重要的，例如a的单位矢量，一般写作$\hat{a}$,这个符号像不像a带了一顶帽子？没错，它就是“a先生”的“帽子”帽子的英文为hat，所以我们可以在LaTeX中用\hat{a}来表示$\hat{a}$

根号分式

$$\sqrt{x}+\sqrt{x^2+\sqrt{y}}=\sqrt[3]{k_i}-\frac{x}{m}$$

\sqrt{x} + \sqrt{x^{2}+\sqrt{y}} = \sqrt[3]{k_{i}} - \frac{x}{m}

\sqrt{}表示平方根，括号里写根号下的内容

\sqrt[n]{}表示n次方根，[]里填写数字是几就为代表根式是几次方根例如\sqrt[3]{x}就表示$\sqrt[3]{x}$

\frac{}{}表示分式,前一个括号里是分子，后一个括号里是分母。也可以使用\cfrac{}{}，区别在于比前者字号稍大

向量

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{AB}+\overleftarrow{DE}$$

\vec表示向量，\overrightarrow表示箭头向右的向量，\overleftarrow表示箭头向左的向

\vec{a} + \overrightarrow{AB} + \overleftarrow{DE}

积分、极限、求和、乘积

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{22}^2-{\int }_1^{5}x\mathrm{d}x+\sum _{n=1}^{20}{n}^2=\prod _{j=1}^3{y}_j+\underset{x\to -2}{lim}\frac{x-2}{x}$$

\int表示积分，\lim表示极限， \sum表示求和，\prod表示乘积

\lim_{x \to 0}表示$\underset{x\to 0}{lim}$ \to代表$\to$ 如果把0改为\infty那么就会变成$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$

\lim_{x \to \infty} x^2_{22} - \int_{1}^{5}x\mathrm{d}x + \sum_{n=1}^{20} n^{2} = \prod_{j=1}^{3} y_{j}  + \lim_{x \to -2} \frac{x-2}{x}

空格与换行

空格

名称	代码	演示	描述
两个quad空格	a\qquad b	$ab$	两个m的宽度
quad空格	a\quad b	$ab$	一个m的宽度
大空格	a\ b	$ab$	1/3m宽度
中等空格	a\;b	$ab$	2/7m宽度
小空格	a\,b	$ab$	1/6m宽度
紧贴	a\!b	$ab$	缩进1/6m宽度

换行

LaTeX是默认不换行的，如果换行必须在特殊条件下用\\表示换行

$$\begin{array}{r}abc\\ def\end{array}$$

\begin{equation}
\begin{aligned}
abc\\ 
def\\
\end{aligned}
\end{equation}

矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

\begin{pmatrix}  
  a_{11} & \cdots & a_{1n} \\  
  \vdots & \ddots & \vdots \\  
  a_{m1} & \cdots & a_{mn}  
\end{pmatrix}

是不是看傻了，没关系，我们只需要把代码拆开一部分一部分看就可以

如果我们把中间的内容去掉，替换成x，你会发现这其实就是一个括号里放了一个x，那这个x其实就代表那些矩阵，但这个括号可不是一般的括号

\begin{pmatrix}  
x
\end{pmatrix}

$$\left(\begin{array}{c}x\end{array}\right)$$

然后我们输入第一行矩阵，显示如右。注意，这里的&起到空格的作用，只在矩阵可行。在LaTeX中如果只输入空格是不会有空格的效果的，当然这个方法并不标准，是我自己摸索出来的，标准的空格如下，但比较麻烦。

• 标准的空格

\begin{pmatrix}  
 a_{11} & \cdots & a_{1n}
\end{pmatrix}

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\end{array}\right)$$

再输入第二行矩阵，注意，第一行尾部要添加\来表示换行。显示如右

\begin{pmatrix}  
  a_{11} & \cdots & a_{1n} \\  
  \vdots & \ddots & \vdots 
\end{pmatrix}

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\end{array}\right)$$

最后一行矩阵同上方法，即可得到开头那个整的矩阵。再次提醒要用\\换行！！！

示例：

$$\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}$$

\begin{matrix} 
a & b \\
c & d
\end{matrix}

---

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

\begin{pmatrix} 
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}

---

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

\begin{bmatrix} 
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}

---

$$\left\{\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right\}$$

\begin{Bmatrix} 
a & b \\
c & d
\end{Bmatrix}

---

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$

\begin{vmatrix} 
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}

---

$$\Vert \begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\Vert$$

\begin{Vmatrix} 
a & b \\
c & d
\end{Vmatrix}

使用\left \right关键词

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

\left(
\begin{matrix} 
a & b \\
c & d
\end{matrix}
\right)

---

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

\left[
\begin{matrix} 
a & b \\
c & d
\end{matrix}
\right]

公式编号

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& f(x)={\log }_{a}b-c\end{array}$$

代码如下，其实只需要在你的公式后添加\tag{}，括号里填写编号。

f(x) = \log_{a}{b}-c \tag{1.1}

多行公式/三角函数

$$\begin{array}{rl}\cos 2x& ={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ & =2{\cos }^{2}x-1\end{array}$$

\sin是正弦 \cos是余弦 \tan是正切，你可能会好奇这些符号其实是可以用键盘直接打出来的，那么为什么还要设立一个单独的符号呢？那就让我们一探究竟吧，如果我们用键盘写出sin，那么在LaTeX下显示是$sin$但如果我们用符号\sin那么在LaTeX下显示是$\sin$ 你会发现它们在字体上是有不同的，而且\sin只表示一个符号但sin表示三个符号，这在LaTeX排布时会略显差异。

\begin{split}
\cos 2x 
&= \cos^2x - \sin^2x \\
&=2\cos^2x-1
\end{split}

同样是换行，但想要达到这种等号对齐的效果必须在每个要对其的等于号前加上&

(这是&的第二个用法)

方程组

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x}{b+c}& x<3\\ \pi & x=3\\ {\int }_a^{3b}{x}_{ij}+e^2\mathrm{d}x& x>3\end{array}$$

是不是对这个方程组很熟悉，没错这就是开头那个，前面学了那么多你应该知道大概要怎么做了吧，不过还欠点火候，我们还有最后一点东西没学完

f(x) = \begin{cases}
\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x}{b+c}, & x<3 \\
\pi, & x=3 \\
\int_a^{3b}x_{ij}+e^2 \mathrm{d}x,& x>3 \\
\end{cases}

这就是这个方程组的代码，不用担心，它并不复杂，我们还是用之前的方法，来一部分一部分看他

f(x) = \begin{cases}

\end{cases}

$$f(x)=\{\begin{array}{}\end{array}$$

\begin{cases} \end{cases} 其实就是一个花括号的格式，只需要在里面填写方程和条件然后用\换行把每个方程分开即可，这样就可以得到那个方程组。让我们来看下一步

f(x) = \begin{cases}
\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x}{b+c} & x<3 

\end{cases}

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x}{b+c}& x<3\end{array}$$

现在我们把第一个方程放在括号里了，这里要注意在方程后添加条件先在方程后写&然后再写条件

（这是&的第三种用法）

我们在第一个方程后添加\换行，然后写入第二行方程，如下

f(x) = \begin{cases}
\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x}{b+c} & x<3 \\
\pi & x=3 \\
\end{cases}

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x}{b+c}& x<3\\ \pi & x=3\end{array}$$

同上方式，你就可以写出那个完整的方程组了。

好的，现在你已经可以通过LaTeX写出绝大多数数学公式了，它一定会成为你数理学习路上的好帮手

狄拉克符号

$$⟨\psi ||\psi ⟩⟨\psi |\psi ⟩$$

方法一

\left \langle \psi \right | 
\left| \psi  \right \rangle 
\left \langle \psi | \psi \right \rangle

\left \langle $\psi$ \right | 表示$⟨\psi |$

\left | $\psi$ \right \rangle 表示 $|\psi ⟩$

\left \langle $\psi$ | $\psi$ \right \rang表示$⟨\psi |\psi ⟩$

这种方式会看起来比较复杂

方法二

\bra{\psi} 
\ket{\psi} 
\braket{\phi|\psi}

这是标准的写法，使用起来也非常简单，推荐使用这样的写法

字体

例如我们数学中的傅里叶变换$\mathcal{F}$和拉普拉斯变换$\mathcal{L}$,你知道这些符号都是怎么打出来的吗？

其实它们都是换了字体的大写F和L，我们在数学和物理的学习中也是会经常用到这些符号

$\mathcal{L}$ \mathscr{L} $\mathcal{L}$ \mathcal{L}

$\mathcal{F}$ \mathscr{L} $\mathcal{F}$ \mathcal{F}

以上是它们对应的LaTeX,这两种不同字体的符号在教科书上都能看到，除了以上这两种，还有其他的字体，例如：

$$\begin{gathered} \mathbf{ABCDEFGHRGKLMNOPQRSTUVWXYZ} \\ \mathbf{abcdefghrgklmnopqrstuvwxyz} \end{gathered}$$

这里使用的字体为\mathbf{}，这是一个加粗字体

$$\begin{gathered} \mathit{ABCDEFGHRGKLMNOPQRSTUVWXYZ} \\ \mathit{abcdefghrgklmnopqrstuvwxyz} \end{gathered}$$

这里使用的字体是\mathit{}，这是一个斜体字体

$$\begin{gathered} \mathcal{ABCDEFGHRGKLMNOPQRSTUVWXYZ} \\ \mathcal{abcdefghrgklmnopqrstuvwxyz} \end{gathered}$$

这里使用的字体是\mathcal，这是一个手写体字体

最后展示一个与数学毫不相关的

$$\begin{gathered} \mathfrak{ABCDEFGHRGKLMNOPQRSTUVWXYZ} \\ \mathfrak{abcdefghrgklmnopqrstuvwxyz} \end{gathered}$$

这里使用的字体是德文尖角体，这个字体用\mathfrak{}。除此之外，你还发现了什么，没错，与之前不同的是这里的字是蓝色的。LaTeX可以定义字的颜色，你只需要在字前加一个\color{}括号里输入颜色名称即可，代码如下

\color{Blue}\mathfrak{ABCDEFGHRGKLMNOPQRSTUVWXYZ} \\ 
\color{Blue}\mathfrak{abcdefghrgklmnopqrstuvwxyz}

你可能会疑惑，你并不知道所有颜色的名称，而且并不是所有颜色都有名称，那么我们如何让字显示出我们想要的颜色？用我们常说的RGB，也就是三原色，理论上它们可以搭配出成千上万种颜色，总有一款是你喜欢的那么如何用LaTeX表示三原色呢？用\color[RGB]{0,0,0}最大值为225，最小值为0，值越大颜色占比越多，第一个数代表红色的值，第二个数代表绿色的值，第三个数代表蓝色的值，其实是按照RGB的顺序来的，R代表Red（红色），G代表Green（绿色），B代表Blue（蓝色）。

在一堆字里，我只想定义个别字的颜色怎么办我们可以把字用{}括号括起来

\color{red}{abc}
或者
{\color{Blue}abc}
两者没有区别（为了比较明显我把两种方式的字设成了不同颜色）

$$abc$$$$abc$$

大小

LaTeX不仅可以定义字体，颜色，还可以定义字的大小。虽然这在数学公式中并不一定能用上，但我还是提一嘴，以备不时之需

一号 \Huge $\int f^{-1}(x-x_a)dx$

二号 \huge $\int f^{-1}(x-x_a)dx$

三号 \LARGE $\int f^{-1}(x-x_a)dx$

四号 \Large $\int f^{-1}(x-x_a)dx$

小四号 \large $\int f^{-1}(x-x_a)dx$zh

五号(默认) $\int f^{-1}(x-x_a)dx$

小五号\small $\int f^{-1}(x-x_a)dx$

六号 \footnotesize $\int f^{-1}(x-x_a)dx$ 小六号 \scriptsize $\int f^{-1}(x-x_a)dx$ 七号 \tiny $\int f^{-1}(x-x_a)dx$

除了字体大小还有字体的样式，放在下面提供参考

\begin{array}{l} 
  {\displaystyle \int f^{-1}(x-x_a)dx} \\
  {\textstyle \int f^{-1}(x-x_a)dx} \\
  {\scriptstyle \int f^{-1}(x-x_a)dx}\\
  {\scriptscriptstyle \int f^{-1}(x-x_a)dx}
\end{array}

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \int f^{-1}(x-x_a)dx}\\ \int f^{-1}(x-x_a)dx\\ \int f^{-1}(x-x_a)dx\\ \int f^{-1}(x-x_a)dx\end{array}$$

化学方程式

以上内容足够你打出你所能在书本上见到的绝大多数数学公式，既然如此，我们不如再尝试一下化学方程式，让我们试试看吧！

$$S{O}_4^{2-}+B{a}^{2+}\to BaS{O}_4\downarrow$$

SO_4^{2-}+Ba^{2+}\to BaSO_4\downarrow

这个是我用上述所学到的LaTeX知识所打出来的，而下面这个是我用扩展方法打出来的，两者字体和箭头略有不同。

$$\mathrm{SO}{\phantom{A}}_4{\phantom{A}}^{2-}+\mathrm{Ba}{\phantom{A}}^{2+}⟶\mathrm{BaSO}{\phantom{A}}_4\downarrow$$

\ce{SO4^2- + Ba^2+ -> BaSO4 v}

下面这个用扩展方法打出来的化学方程式中沉淀箭头由v代替，字母后的数字自动变为下标，多个上标符号在一块时不需要用{}括起来箭头被->代替,\ce表示启用化学的扩展方法

参考：

$$\mathrm{Zn}{\phantom{A}}^{2+}\underset{+2\mathrm{H}{\phantom{A}}^{+}}{\stackrel{+2\mathrm{OH}{\phantom{A}}^{-}}{\stackrel{-\rightharpoonup }{\leftharpoondown -}}}\underset{\text{amphoteres Hydroxid}}{\mathrm{Zn}(\mathrm{OH}){\phantom{A}}_2\downarrow }\underset{+2\mathrm{H}{\phantom{A}}^{+}}{\stackrel{+2\mathrm{OH}{\phantom{A}}^{-}}{\stackrel{-\rightharpoonup }{\leftharpoondown -}}}\underset{\text{Hydroxozikat}}{[\mathrm{Zn}(\mathrm{OH}){\phantom{A}}_4]{\phantom{A}}^{2-}}$$

\ce{Zn^2+  
<=>[+ 2OH-][+ 2H+]  
\underset{\text{amphoteres Hydroxid}}{\ce{Zn(OH)2 v}}  
<=>[+ 2OH-][+ 2H+] 
\underset{\text{Hydroxozikat}}{\ce{[Zn(OH)4]^2-}}}

符号参考

• 希腊字母

  小写	LaTeX	读音	大写	LaTeX	读音
  α	\alpha	/ˈælfə/	Γ	\Gamma	/ˈɡæmə/
  β	\beta	/ˈbiːtə/, US: /ˈbeɪtə/	Δ	\Delta	/ˈdɛltə/
  γ	\gamma	/ˈɡæmə/	Θ	\Theta	/ˈθiːtə/
  δ	\delta	/ˈdɛltə/	Λ	\Lambda	/ˈlæmdə/
  ϵ	\epsilon	/ˈɛpsɪlɒn/	Ξ	\Xi	/zaɪ, ksaɪ/
  ε	\epsilon	/ˈɛpsɪlɒn/	Π	\Pi	/paɪ/
  ζ	\zeta	/ˈzeɪtə/	Σ	\Sigma	/ˈsɪɡmə/
  η	\eta	/ˈeɪtə/	Υ	\Upsilon	/ˈʌpsɪlɒn/
  θ	\theta	/ˈθiːtə/	Φ	\Phi	/faɪ/
  ϑ	\vartheta	/ˈθiːtə/	Ψ	\Psi	/psaɪ/
  ι	\iota	/aɪˈoʊtə/	Ω	\Omega	/oʊˈmeɪɡə/
  κ	\kappa	/ˈkæpə/	ω	\omega	/oʊˈmeɪɡə/
  λ	\lambda	/ˈlæmdə/	ψ	\psi	/psaɪ/
  μ	\mu	/mjuː/	χ	\chi	/kaɪ/
  ν	\nu	/njuː/	φ	\varphi	/faɪ/
  ξ	\xi	/zaɪ, ksaɪ/	ϕ	\phi	/faɪ/
  ο	\omicron	/ˈɒmɪkrɒn/	υ	\upsilon	/ˈʌpsɪlɒn/
  π	\pi	/paɪ/	τ	\tau	/taʊ, tɔː/
  ϖ	\varpi	/paɪ/	ς	\varsigma	/ˈsɪɡmə/
  ρ	\rho	/roʊ/	σ	\sigma	/ˈsɪɡmə/
  ϱ	\varrho	/roʊ/

  注意: MathJax支持的大写希腊字母有限，如需其他（如大写Alpha），可使用罗马体转换，如\mathrm{A}表示大写Alpha：A。

• 集合

  图标	LaTeX	图标 1	LaTeX 1
  ∁	\complement	⊏	\sqsubset
  ∅	\emptyset	⊃	\supset
  ∅	\varnothing	⋑	\Supset
  ∈	\in	⊐	\sqsupset
  ∉	\notin	⊆	\subseteq
  ∋	\ni	⊈	\nsubseteq
  ∩	\cap	⊊	\subsetneq
  ⋒	\Cap	⊊	\varsubsetneq
  ⊓	\sqcap	⊑	\sqsubseteq
  ⋂	\bigcap	⊇	\supseteq
  ∪	\cup	⊉	\nsupseteq
  ⋓	\Cup	⊋	\supsetneq
  ⊔	\sqcup	⊋	\varsupsetneq
  ⋃	\bigcup	⊒	\sqsupseteq
  ⨆	\bigsqcup	⫅	\subseteqq
  ⊎	\uplus	⊈	\nsubseteqq
  ⨄	\biguplus	⫋	\subsetneqq
  ∖	\setminus	⫋	\varsubsetneqq
  ∖	\smallsetminus	⫆	\supseteqq
  ×	\times	⊉	\nsupseteqq
  ⊂	\subset	⫌	\supsetneqq
  ⋐	\Subset	⫌	\varsupsetneqq

• 希伯来字母

  图标	LaTeX	英文
  ℵ	\aleph	aleph
  ℶ	\beth	beth
  ℷ	\gimel	gimel
  ℸ	\daleth	daleth

• 几何符号

  图标	LaTeX	图标	LaTeX
  ∥	\parallel	◊	\lozenge
  ∦	\nparallel	⧫	\blacklozenge
  ∥	\shortparallel	★	\bigstar
  ∦	\nshortparallel	◯	\bigcirc
  ⊥	\perp	△	\triangle
  ∠	\angle	△	\bigtriangleup
  ∢	\sphericalangle	▽	\bigtriangledown
  ∡	\measuredangle	△	\vartriangle
  45∘	45^\circ	▽	\triangledown
  ◻	\Box	▴	\blacktriangle
  ◼	\blacksquare	▾	\blacktriangledown
  ⋄	\diamond	◂	\blacktriangleleft
  ◊	\Diamond \lozenge	▸	\blacktriangleright

• 逻辑符号

  图标	LaTeX	图标	LaTeX
  ∀	\forall	¬	\neg
  ∃	\exists	⧸R	\not\operatorname{R}
  ∄	\nexists	⊥	\bot
  ∴	\therefore	⊤	\top
  ∵	\because	⊢	\vdash
  &	\And	⊣	\dashv
  ∨	\lor	⊨	\vDash
  ∨	\vee	⊩	\Vdash
  ⋎	\curlyvee	⊨	\models