# 线性代数

# 行列式

行列式是一个 n×n （行数和列数相等）的方阵，记作 $d e t (A)$ 或使用两条竖线将元素括起来 $A = | \begin{matrix} a \end{matrix} |$

# 一阶行列式

一阶行列式只有一行一列，只包含一个元素

D = | \begin{matrix} a \end{matrix} |

它的值就是元素本身

| \begin{matrix} a \end{matrix} | = a

举例：

$| \begin{matrix} 0 \end{matrix} | = 0$
$| \begin{matrix} - 1 \end{matrix} | = - 1$
$| \begin{matrix} 3 \end{matrix} | = 3$

# 二阶行列式

二阶行列式计算法则：主对角线数的积减去副对角线数的积

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a \times d - b \times c

例如：

| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{matrix} | = (2 \times 3) - (5 \times 1) = 6 - 5 = 1

# 三阶行列式

这是一个三阶行列式的基本格式

| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} |

使用对角线法则计算行列式的值：

D = a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h

为了方便观察规律，通常使用 $a_{i j}$ 的形式表示

D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |

从扩展阵列中，找出三条从左上到右下方向的斜线，每条线连接 3 个元素，将它们的乘积相加。

第一条（主对角线）: $a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$
第二条: $a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}$
第三条: $a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}$

S_{1} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}

从扩展阵列中，找出三条从右上到左下方向的斜线，每条线连接 3 个元素，将它们的乘积相加。

第一条（副对角线）: $a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}$
第二条: $a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$
第三条: $a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}$

S_{2} = a_{13} a_{22} a_{31} + a_{12} a_{21} a_{33} + a_{11} a_{23} a_{32}

用 $S_{1}$ 之和减去 $S_{2}$ 之和，就得到行列式的值。

D = S_{1} - S_{2}

计算结果为

D = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}

# n阶行列式

n 阶行列式是一个 n x n 的方阵，其中的元素有 n 行 n 列

# 行列式展开公式

情况一：按行展开

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \sum (- 1)^{N (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}

行列式中的元素用 $a_{i j}$ 表示 $i$ 是行标， $j$ 是列标

行标取标准排列（按自然顺序 1, 2, 3...），列标取排列的所有可能（所有列号的不同组合，例如 (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3)...）
n阶行列式展开式共 n! 项
每一项都是从不同行不同列取出的 n 个元素相乘
正负由列标排列的奇偶性决定 $(- 1)^{N (j_{1} j_{2} \dots j_{n})}$

以三阶行列式为例:

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}

逆序数

乘积项的正负是由行标（或列标）排列的奇偶性决定，这里的奇偶性是指这个排列是“奇排列”还是“偶排列”，它由一个叫做逆序数的数值决定

从左到右，依次取排列中的每一个数字作为“当前数字”。对于每个“当前数字”，检查它后面的所有数字。每当发现后面有一个数字比“当前数字”小，就计为一个逆序。将所有“当前数字”对应的逆序个数加起来，总和就是这个排列的逆序数。

逆序数用 N 表示，例如 N(3, 1, 4, 2)

3 后面有 (1,4,2)，比3小的数有2个；
1 后面有 (4,2)，比1小的数有0个；
4 后面有(2)，比4小的数有1个；
2 后面没有数，比2小的数有0个

N(3, 1, 4, 2) = 2 + 0 + 1 + 0 = 3

情况二：按列展开

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{m} \end{matrix} | = \sum (- 1)^{N (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \dots a_{i_{n} n}

列标取标准排列（按自然顺序 1, 2, 3...），行标取排列的所有可能（所有行号的不同组合，例如 (1,2,3), (2，3，1), (3，1，2)...）
每一项都是从不同行不同列取出的 n 个元素相乘
n阶行列式展开式共 n! 项
正负由行标排列的奇偶性决定 $(- 1)^{N (i_{1} i_{2} \dots i_{n})}$

以三阶行列式为例:

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13} + a_{31} a_{12} a_{23} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{21} a_{12} a_{33} - a_{11} a_{32} a_{23}

情况三：不按行也不按列

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{m} \end{matrix} | = \sum (- 1)^{N (i_{1} i_{2} \dots i_{n}) + N (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} a_{i_{1} j_{1}} a_{i_{2} j_{2}} \dots a_{i_{n} j_{n}}

# 反三角行列式：

类型1：

| \begin{matrix} * & * & * & a_{1} \\ * & * & a_{2} \\ * & \dots \\ a_{n} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1} a_{2} \dots a_{n}

类型2：

| \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} & * \\ \dots & * & * \\ a_{n} & * & * & * \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1} a_{2} \dots a_{n}

类型3：

| \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \dots \\ a_{n} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1} a_{2} \dots a_{n}

# 下三角行列式：

| \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} & a_{22} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} \dots a_{n n}

# 对角形行列式：

| \begin{matrix} a_{11} \\ a_{22} \\ ⋱ \\ a_{n n} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} \dots a_{n n}

# 转置行列式

n 阶行列式 $D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ ，它的转置行列式为 $D^{T} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

例如： $D = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix} |$ 的转置行列式为 $D^{T} = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 3 & 5 & 7 \end{matrix} |$

对任何行列式 $D$ ，有 $D = D^{T}$ （行列式与其转置行列式相等）即行列式行列互换，其值不变。

推论：若行列式中有两行（两列）的对应元素相等，则行列式值为零

| \begin{matrix} a & b & c \\ a & b & c \\ 1 & 5 & 7 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} a & b & c \\ a & b & c \\ 1 & 5 & 7 \end{matrix} |

D = - D

2 D = 0

D = 0