# 线性代数

# 行列式

行列式是一个 n×n （行数和列数相等）的方阵，记作 $d e t (A)$ 或使用两条竖线将元素括起来 $A = | \begin{matrix} a \end{matrix} |$

一阶行列式只有一行一列，只包含一个元素

D = | \begin{matrix} a \end{matrix} |

它的值就是元素本身

| \begin{matrix} a \end{matrix} | = a

举例：

二阶行列式计算法则：主对角线数的积减去副对角线数的积

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a \times d - b \times c

例如：

| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{matrix} | = (2 \times 3) - (5 \times 1) = 6 - 5 = 1

这是一个三阶行列式的基本格式

| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} |

使用对角线法则计算行列式的值：

D = a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h

为了方便观察规律，通常使用 $a_{i j}$ 的形式表示

D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |

从扩展阵列中，找出三条从左上到右下方向的斜线，每条线连接 3 个元素，将它们的乘积相加。

S_{1} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}

从扩展阵列中，找出三条从右上到左下方向的斜线，每条线连接 3 个元素，将它们的乘积相加。

S_{2} = a_{13} a_{22} a_{31} + a_{12} a_{21} a_{33} + a_{11} a_{23} a_{32}

用 $S_{1}$ 之和减去 $S_{2}$ 之和，就得到行列式的值。

D = S_{1} - S_{2}

计算结果为

D = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}

情况一：按行展开

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \sum (- 1)^{N (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}

情况二：按列展开

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{m} \end{matrix} | = \sum (- 1)^{N (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \dots a_{i_{n} n}

情况三：不按行也不按列

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{m} \end{matrix} | = \sum (- 1)^{N (i_{1} i_{2} \dots i_{n}) + N (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} a_{i_{1} j_{1}} a_{i_{2} j_{2}} \dots a_{i_{n} j_{n}}