数学分析

三角函数

基本定义

正弦：

余弦：

正切：

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$

余切：

$$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{1}{\tan \theta }$$

正割：

$$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$$

余割：

$$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$$

毕达哥拉斯恒等式

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

推广公式一:

$$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$$

推导过程

将基本恒等式两边除以 ${\cos }^2\theta$

$$\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+\frac{{\cos }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

化简得到

$${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$$

重新排列得到

$$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$$

推广公式二：

$$1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$$

推导过程

将基本恒等式两边除以 ${\sin }^2\theta$

$$\frac{{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta }$$

化简得到

$$1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$$

反三角函数恒等式

• $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$
• $\arctan x+\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}$
• $\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$（当 $x>0$ 时）

正弦定理

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

$a、b、c$为三角形的三边长，$A、B、C$分别为三角形三边所对应的角度，$R$为外接圆半径

余弦定理

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

三角形面积公式

$$S=\frac{1}{2}ab\sin C$$

三角函数计算公式

诱导公式

负角：

• $\sin (-\theta )=-\sin \theta$
• $\cos (-\theta )=\cos \theta$
• $\tan (-\theta )=-\tan \theta$

$\frac{\pi }{2}$相关：

• $\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cos \theta$
• $\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin \theta$
• $\tan (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cot \theta$

$\pi$相关：

• $\sin (\pi \pm \theta )=\mp \sin \theta$
• $\cos (\pi \pm \theta )=-\cos \theta$
• $\tan (\pi \pm \theta )=\pm \tan \theta$

和角与差角公式

• $\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
• $\cos (A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$
• $\tan (A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$

倍角公式

• $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
• $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$
• $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

半角公式

• $\sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$
• $\cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$
• $\tan \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$

积化和差公式

• $\sin A\cos B=\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{2}$
• $\cos A\sin B=\frac{\sin (A+B)-\sin (A-B)}{2}$
• $\cos A\cos B=\frac{\cos (A+B)+\cos (A-B)}{2}$
• $\sin A\sin B=\frac{\cos (A-B)-\cos (A+B)}{2}$

和差化积公式

• $\sin A+\sin B=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\sin A-\sin B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\cos A+\cos B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\cos A-\cos B=-2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$

辅助角公式

对于$a,b,x\in \mathbb{R}$ ,$a>0$ ,有：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$$

其中

$$\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}),\tan \phi =\frac{b}{a}$$

辅助角公式还有其它各种等价的形式：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x-\phi )(b>0,\phi \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}),\tan \phi =\frac{a}{b})$$$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\arctan \frac{b}{a}),(a>0)$$$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x-\arctan \frac{a}{b}),(b>0)$$